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<!DOCTYPE html>

<title>Teststatistik</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Teststatistik</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Teststatistik, auch Prüfgröße,<a href="#cite_note-Tschirk67-1">[1]</a> Testgröße<a href="#cite_note-Bosch178-2">[2]</a>, Testprüfgröße oder Prüffunktion genannt, ist eine spezielle <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellwertige Funktion</a> in der <a href="Testtheorie_(Statistik)" title="Testtheorie (Statistik)">Testtheorie</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematische_Statistik" title="Mathematische Statistik">mathematischen Statistik</a>. Teststatistiken werden als Hilfsfunktionen bei der Definition von <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischen Tests</a> verwendet. So wird beispielsweise bei einem <a href="Hypothesentest" class="mw-redirect" title="Hypothesentest">Hypothesentest</a> die <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> abgelehnt, wenn die Teststatistik über oder unter einem vorher festgelegten Zahlenwert liegt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Gegeben sei eine Funktion

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} \;,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c181b6870195efcaa075a10bea941c83d6b996c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.13ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} \;,}" loading="lazy"></dd></dl>

die auf dem <a href="Stichprobenraum" class="mw-redirect" title="Stichprobenraum">Stichprobenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {X}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c7e5461c5286852df4ef652fca7e4b0b63030e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.875ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {X}}}" loading="lazy">, der Menge aller möglichen Stichprobenwerte einer <a href="Stichprobenvariable" class="mw-redirect" title="Stichprobenvariable">Stichprobenvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, definiert ist,

sowie ein <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischer Test</a>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {X}}\to [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d61edc5c60b4932863e09dba50854250ee82e78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {X}}\to [0,1]}" loading="lazy">,</dd></dl>

der durch

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fee2aaa9b8d9a91950201af0bb07a727d1132806.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.691ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert ist.

Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> eine feste Zahl, die auch der <a href="Kritischer_Wert_(Statistik)" title="Kritischer Wert (Statistik)">kritische Wert</a> genannt wird. Dann wird die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eine Teststatistik genannt.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Die Definition gilt ebenso für <a href="Randomisierter_Test" title="Randomisierter Test">randomisierte Tests</a> sowie Varianten der obigen Definition des Tests. Dazu gehört unter anderem das Vertauschen oder Abändern von Ungleichheitszeichen und Vertauschen von null und eins.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="z-Statistik">z-Statistik</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Standardisierung_(Statistik)" title="Standardisierung (Statistik)">Standardisierung (Statistik)</a></div>

Unter Verwendung der Abkürzung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8296c9efe7271bf9c45ddff332918f2eb66b89fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.001ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für das <a href="Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel">Stichprobenmittel</a> ist eine typische Teststatistik auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c636a28715d1209781157833b8c89c953e37fd37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gegeben durch die <a href="Standardisierung_(Statistik)" title="Standardisierung (Statistik)">z-Statistik</a>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(X)={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba664287d7df876243bcb380ceb160bdffe976ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.743ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T(X)={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> eine positive Zahl und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet beispielsweise bei den <a href="Gau%C3%9F-Test" title="Gauß-Test">Gauß-Tests</a> Anwendung. Dabei wird ausgenutzt, dass die Teststatistik <a href="Standardnormalverteilung" class="mw-redirect" title="Standardnormalverteilung">standardnormalverteilt</a> ist, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\sim {\mathcal {N}}(0,1)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\sim {\mathcal {N}}(0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f566c81ffcb897643fab6c5555730f4677cc0a2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.178ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\sim {\mathcal {N}}(0,1)}" loading="lazy">, wenn die <a href="Stichprobenvariable" class="mw-redirect" title="Stichprobenvariable">Stichprobenvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/197911bbfe9fe9540571f88763a0064df10686ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}" loading="lazy"> normalverteilt sind mit <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Rüschendorf195-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="t-Statistik">t-Statistik</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="T-Statistik" title="T-Statistik">t-Statistik</a></div>

Bezeichnet man mit

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{*}(X)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f093fe631a3c52d5f08e5a7fb70d38d2f4017f95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.394ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle V^{*}(X)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

die <a href="Korrigierte_Stichprobenvarianz" class="mw-redirect" title="Korrigierte Stichprobenvarianz">korrigierte Stichprobenvarianz</a>, so ist eine weitere wichtige Teststatistik auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c636a28715d1209781157833b8c89c953e37fd37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gegeben durch

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(X)={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sqrt {V^{*}(X)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1faa1b6dda1669658e6c957fa3844fbc6cfcc7cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.454ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle T(X)={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sqrt {V^{*}(X)}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hierbei ist wieder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet bei dem <a href="Einstichproben-t-Test" title="Einstichproben-t-Test">Einstichproben-t-Test</a> Anwendung. Dabei wird ähnlich zum obigen Beispiel ausgenutzt, dass wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy"> und Mittelwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">, die Teststatistik <a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">t-verteilt</a> ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}" loading="lazy"> <a href="Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Freiheitsgraden</a>. Es gilt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\sim \mathbf {t} _{n-1}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\sim \mathbf {t} _{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6cb4ff22ed222bac09c9d6963d6494a4471acc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.093ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\sim \mathbf {t} _{n-1}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Georgii_282-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Chi-Quadrat-Summe">Chi-Quadrat-Summe</h3></div>

Eine dritte wichtige Teststatistik ist

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(X):=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5ce00048f0f6eb1fd14a8d0e89fa7b5a4325f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.191ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle T(X):=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9a48f0e84328dc53dec2ad301bb321c00dcf422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.92ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/762ecd0f0905dd0d4d7a07f80fa8bfb324b9b021.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma >0}" loading="lazy">. Sie wird beispielsweise beim <a href="Chi-Quadrat-Test" title="Chi-Quadrat-Test">Chi-Quadrat-Test</a> für die Varianz verwendet. Dabei wird genutzt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> <a href="Chi-Quadrat-Verteilung" title="Chi-Quadrat-Verteilung">Chi-Quadrat-verteilt</a> ist, wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Rüschendorf195-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorteile">Vorteile</h2></div>

Betrachtet man einen Test <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> und bezeichnet mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fc0ddb85c93ae8ffccd7f34b7db4ab0c9d9598a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}" loading="lazy"> die Bildung des Erwartungswertes bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsverteilung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a035875f3f7766b93af51105313b364f91a9c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }}" loading="lazy">, so treten in der Testtheorie häufig Ausdrücke der Form

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta _{0}}(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f8a848ff4bc6050df530c220c045f4eeaa9d90d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.948ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta _{0}}(\varphi )}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-\operatorname {E} _{\vartheta _{1}}(\varphi )}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-\operatorname {E} _{\vartheta _{1}}(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1c038b9f1381cfe3d68d0a028252f40ea29c9f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.95ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1-\operatorname {E} _{\vartheta _{1}}(\varphi )}" loading="lazy"></dd></dl>

auf. Dabei entspricht der erste Ausdruck dem <a href="Fehler_1._und_2._Art#Fehler_1._Art" title="Fehler 1. und 2. Art">Fehler 1. Art</a> und der zweite dem <a href="Fehler_1._und_2._Art#Fehler_2._Art" title="Fehler 1. und 2. Art">Fehler 2. Art</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2d2fe479bcd30fad9d68cc45a1760ff38de03c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{0}}" loading="lazy"> in der <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8945230e55c17b39c8e4b84cee976a8fe1c5248.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{1}}" loading="lazy"> in der Alternative. Im Allgemeinen sind solche Ausdrücke schwer zu berechnen, da der Test <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> selbst wenig Struktur besitzt.

Geht man nun von einem <a href="Nichtrandomisierter_Test" title="Nichtrandomisierter Test">nichtrandomisierten Test</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> aus (der <a href="Randomisierter_Test" title="Randomisierter Test">randomisierte Fall</a> folgt mit leichten Anpassungen), so lässt sich der Test schreiben als

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (X)=\mathbf {1} _{A}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03dbcaddc0e3f8f116615dcd6b472fecdccedf4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.999ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (X)=\mathbf {1} _{A}(X)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> der <a href="Ablehnbereich" class="mw-redirect" title="Ablehnbereich">Ablehnbereich</a> des Tests und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(X)}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99d764667d9248e4a87a923a21f66927ac98232c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.591ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(X)}" loading="lazy"> die <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">Indikatorfunktion</a> auf der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Mit dieser Schreibweise folgt dann insbesondere

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi )=P_{\vartheta }(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8435848c1498227963b265e43e02fdb55c15fae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.463ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi )=P_{\vartheta }(A)}" loading="lazy"></dd></dl>

(siehe auch <a href="Indikatorfunktion#Verwendung_zur_Berechnung_von_Erwartungswert,_Varianz_und_Kovarianz" title="Indikatorfunktion">Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz</a>).

Ist der Test nun durch eine Teststatistik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> definiert, also beispielsweise durch

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fee2aaa9b8d9a91950201af0bb07a727d1132806.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.691ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (X)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\quad T(X)>k\\0&{\text{ falls }}\quad T(X)\leq k\end{cases}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

so ist der Ablehnbereich von der Form

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\{X\in {\mathcal {X}}\mid T(X)>k\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cf7ba01e614a292cca1d85f49c424139f7fc0fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.535ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=\{X\in {\mathcal {X}}\mid T(X)>k\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit reduziert sich aber die Bestimmung des Erwartungswertes des Tests zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi )=P_{\vartheta }(A)=P_{\vartheta }(\{X\in {\mathcal {X}}\mid T(X)>k\})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea0c95d0ccb494858ed1c7cc0356ae1876278ea6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.76ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi )=P_{\vartheta }(A)=P_{\vartheta }(\{X\in {\mathcal {X}}\mid T(X)>k\})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit lässt sich der Erwartungswert des Tests direkt bestimmen, wenn die Verteilung der Teststatistik bekannt ist. Wie die drei obigen Beispiele zeigen ist dies bei vielen wichtigen Tests der Fall.

Die einfachere Berechnung des Erwartungswertes über die Verteilung der Teststatistik wird auf verschiedene Weisen verwendet. Einerseits bei <a href="Hypothesentest" class="mw-redirect" title="Hypothesentest">Hypothesentests</a> vor der Datenauswertung, um den <a href="Kritischer_Wert_(Statistik)" title="Kritischer Wert (Statistik)">kritischen Wert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> so anzupassen, dass der Test den gewünschten Fehler erster Art einhält. Andererseits bei <a href="Signifikanztest" class="mw-redirect" title="Signifikanztest">Signifikanztests</a> nach der Datenauswertung zur Bestimmung des <a href="P-Wert" title="P-Wert">p-Wertes</a>. Somit erleichtern Teststatistiken den Umgang und die Konstruktion von Tests.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Tschirk67-1"><a href="#cite_ref-Tschirk67_1-0">↑</a> Wolfgang Tschirk: <cite style="font-style:italic">Statistik: Klassisch oder Bayes</cite>. Zwei Wege im Vergleich. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-54384-5, S. 67, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-54385-2">10.1007/978-3-642-54385-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teststatistik&rft.au=Wolfgang+Tschirk&rft.btitle=Statistik%3A+Klassisch+oder+Bayes&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-54385-2&rft.edition=1.+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783642543845&rft.pages=67&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Bosch178-2"><a href="#cite_ref-Bosch178_2-0">↑</a> Karl Bosch: <cite style="font-style:italic">Elementare Einführung in die angewandte Statistik</cite>. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 178.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teststatistik&rft.au=Karl+Bosch&rft.btitle=Elementare+Einf%C3%BChrung+in+die+angewandte+Statistik&rft.date=2005&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.pages=178&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <cite style="font-style:italic">Testtheorie</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teststatistik&rft.atitle=Testtheorie&rft.btitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.date=2000&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=3827404398&rft.place=Mannheim%2FHeidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Rüschendorf195-4">↑ <a href="#cite_ref-Rüschendorf195_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-Rüschendorf195_4-1">b</a> Ludger Rüschendorf: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 195, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41997-3">10.1007/978-3-642-41997-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teststatistik&rft.au=Ludger+R%C3%BCschendorf&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41997-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642419966&rft.pages=195&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Georgii_282-5"><a href="#cite_ref-Georgii_282_5-0">↑</a> Hans-Otto Georgii: <cite style="font-style:italic">Stochastik</cite>. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 282, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9783110215274">10.1515/9783110215274</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Teststatistik&rft.au=Hans-Otto+Georgii&rft.btitle=Stochastik&rft.date=2009&rft.doi=10.1515%2F9783110215274&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783110215267&rft.pages=282&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter" style="display:none">

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